Калькулятор векторов

Логика вычислений

Калькулятор выполняет операции над векторами в двух режимах: на плоскости (2D, вектор задаётся двумя координатами) и в пространстве (3D, добавляется третья координата). В обоих режимах доступен один набор операций — сложение, вычитание, скалярное и векторное произведение, угол между векторами, проекция, модуль и нормирование. Формулы операций одинаковы, отличается лишь число координат, поэтому ниже логика разобрана для 2D, а в блоке 3D показано, что в ней меняется. Векторное произведение определено только в пространстве.

a = (a_x; a_y)    b = (b_x; b_y)

где:

• a, b — исходные векторы;
• a_x, a_y — координаты вектора a;
• b_x, b_y — координаты вектора b.

Режим 2D (плоскость)

Сложение и вычитание выполняются покоординатно:

a + b = (a_x + b_x; a_y + b_y)    a − b = (a_x − b_x; a_y − b_y)

Скалярное произведение — сумма произведений одноимённых координат, его результат число:

a · b = a_x × b_x + a_y × b_y

Модуль (длина) вектора — корень из скалярного произведения вектора на самого себя:

‖a‖ = √(a_x² + a_y²)

где:

• ‖a‖ — модуль (длина) вектора a.

Угол между векторами находится через скалярное произведение и модули обоих векторов: сначала вычисляется косинус угла, затем сам угол. Результат выдаётся в градусах и радианах:

cos φ = (a · b) / (‖a‖ × ‖b‖)    φ = arccos(cos φ)    φ° = φ × 180 / π

где:

• φ — угол между векторами a и b, радианы;
• φ° — тот же угол в градусах;
• ‖b‖ — модуль вектора b.

Проекция вектора a на вектор b — это вектор вдоль b, длина которого зависит от того, насколько a совпадает по направлению с b. Сначала находится коэффициент, затем на него умножаются координаты b:

k = (a · b) / (b · b)    proj_b a = k × b = (k × b_x; k × b_y)

где:

• k — скалярный коэффициент проекции;
• proj_b a — проекция вектора a на вектор b.

Нормирование даёт единичный вектор того же направления — каждая координата делится на модуль:

â = a / ‖a‖ = (a_x / ‖a‖; a_y / ‖a‖)

где:

• â — единичный вектор, сонаправленный с a (модуль равен 1).

Режим 3D (пространство)

В пространстве вектор задаётся тремя координатами, и во все формулы выше добавляется третья компонента. Сложение, вычитание, скалярное произведение, модуль, угол, проекция и нормирование считаются по тем же правилам, просто с учётом координаты z:

a = (a_x; a_y; a_z)    a · b = a_x × b_x + a_y × b_y + a_z × b_z    ‖a‖ = √(a_x² + a_y² + a_z²)

где:

• a_z, b_z — третьи координаты векторов a и b.

Дополнительно в 3D доступно векторное произведение — оно даёт вектор, перпендикулярный обоим исходным:

a × b = (a_y × b_z − a_z × b_y; a_z × b_x − a_x × b_z; a_x × b_y − a_y × b_x)

где:

• a × b — векторное произведение, вектор, перпендикулярный плоскости векторов a и b.

Примеры расчётов