Калькулятор площади пятиугольника по сторонам
Введите один известный параметр правильного (равностороннего) пятиугольника — калькулятор вычислит все остальные: сторону, площадь, периметр, диагональ, высоту, радиус описанной и вписанной окружности.
Логика вычислений
Калькулятор работает с правильным (равносторонним) пятиугольником. Пользователь задаёт любой один известный параметр — сторону, площадь, периметр, диагональ, высоту, радиус описанной или вписанной окружности, — а калькулятор находит все остальные. Все величины правильного пятиугольника пропорциональны его стороне a, поэтому расчёт всегда строится в два этапа: сначала по введённому значению вычисляется сторона a, затем через неё — остальные параметры.
Шаг 1. Восстановление стороны
Каждая характеристика пятиугольника связана со стороной постоянным коэффициентом. Поэтому, что бы ни ввёл пользователь, сторона получается обратным пересчётом:
a = P / 5 a = √(A / k_A) a = d / k_d
a = h / k_h a = R / k_R a = r / k_r
где:
- a — длина стороны пятиугольника, ед.;
- P — периметр, ед.;
- A — площадь, ед.²;
- d — диагональ, ед.;
- h — высота, ед.;
- R — радиус описанной окружности, ед.;
- r — радиус вписанной окружности, ед.;
- k_A, k_d, k_h, k_R, k_r — постоянные коэффициенты правильного пятиугольника (см. таблицу ниже).
Единицы измерения калькулятор не задаёт жёстко: результат получается в тех же единицах, в которых введён исходный параметр (мм, см, м), а площадь — в их квадрате.
Шаг 2. Вычисление остальных параметров
Зная сторону a, калькулятор находит все характеристики прямым умножением на соответствующий коэффициент:
P = 5a A = k_A × a²
d = k_d × a h = k_h × a
R = k_R × a r = k_r × a
Коэффициенты определяются геометрией правильного пятиугольника и не зависят от размера фигуры. Площадь выражается через сторону формулой A = (1/4)·√(5·(5 + 2√5))·a²; диагональ относится к стороне как золотое сечение d = (1 + √5)/2 · a; высота h = √(5 + 2√5)/2 · a; радиусы описанной и вписанной окружностей выражаются через половину центрального угла 36° (π/5): R = a / (2·sin36°), r = a / (2·tg36°). Численные значения этих коэффициентов сведены в таблицу.
Коэффициенты правильного пятиугольника
| Параметр | Связь со стороной | Коэффициент |
|---|---|---|
| Периметр P | P = 5a | 5 |
| Площадь A | A = k_A × a² | k_A ≈ 1,720477 |
| Диагональ d | d = k_d × a | k_d ≈ 1,618034 (золотое сечение) |
| Высота h | h = k_h × a | k_h ≈ 1,538842 |
| Радиус описанной окружности R | R = k_R × a | k_R ≈ 0,850651 |
| Радиус вписанной окружности r | r = k_r × a | k_r ≈ 0,688191 |