Калькулятор многоугольника
Укажите число сторон и любой один известный параметр (сторона, периметр, площадь, радиус описанной или вписанной окружности) — остальные величины будут рассчитаны автоматически.
Логика вычислений
Калькулятор находит все параметры правильного многоугольника по числу сторон и любому одному известному параметру (сторона, периметр, площадь, радиус описанной или вписанной окружности). Сначала из заданного параметра вычисляется длина стороны a, а затем уже из неё рассчитываются все остальные величины. Какой бы параметр ни был введён, расчёт сводится к стороне по одной из формул ниже.
a = P / n a = 2 × R × sin(180° / n) a = 2 × r × tg(180° / n) a = √( 4 × A × tg(180° / n) / n )
где:
- a — длина стороны многоугольника;
- n — число сторон, шт;
- P — периметр;
- R — радиус описанной окружности;
- r — радиус вписанной окружности (апофема);
- A — площадь.
Если сторона задана напрямую, она берётся как есть. После того как сторона a получена, вычисляются все остальные параметры.
Периметр — это сумма всех сторон:
P = n × a
Радиус вписанной окружности (апофема — расстояние от центра до середины стороны) и радиус описанной окружности (от центра до вершины):
r = a / ( 2 × tg(180° / n) ) R = a / ( 2 × sin(180° / n) )
Площадь правильного многоугольника считается через число сторон и сторону:
A = (1/4) × n × a² / tg(180° / n)
где:
- A — площадь многоугольника;
- r — радиус вписанной окружности (апофема);
- R — радиус описанной окружности.
Внутренний угол многоугольника зависит только от числа сторон:
α = (n − 2) × 180° / n
где:
- α — внутренний угол при вершине, градусы.
Примеры расчётов
| Что задано | Число сторон n, шт | Сторона a | Периметр P = n × a | Апофема r = a / (2 × tg(180°/n)) | Радиус описанной R = a / (2 × sin(180°/n)) | Площадь A = (1/4) × n × a² / tg(180°/n) | Внутренний угол α = (n−2) × 180°/n | Комментарий |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Сторона a = 10 | 3 | 10 | 30 | 2.887 | 5.774 | 43.301 | 60° | Равносторонний треугольник, сторона задана напрямую |
| Сторона a = 10 | 4 | 10 | 40 | 5 | 7.071 | 100 | 90° | Квадрат: апофема = a/2, площадь = a², круглые числа |
| Сторона a = 6 | 5 | 6 | 30 | 4.129 | 5.104 | 61.937 | 108° | Правильный пятиугольник |
| Радиус описанной R = 10 | 6 | 10 | 60 | 8.660 | 10 | 259.808 | 120° | Шестиугольник: a = 2 × R × sin(180°/6) = 2 × 10 × 0.5 = 10, у шестиугольника R = a |
| Сторона a = 5 | 8 | 5 | 40 | 6.036 | 6.533 | 120.711 | 135° | Правильный восьмиугольник |
| Сторона a = 2 | 12 | 2 | 24 | 3.732 | 3.864 | 44.785 | 150° | Двенадцатиугольник: с ростом n угол приближается к 180° |