Калькулятор решения треугольников

Логика вычислений

Калькулятор восстанавливает все элементы произвольного треугольника по любым трём заданным значениям, среди которых есть хотя бы одна сторона. Стороны обозначены a, b, c, а противолежащие им углы — α, β, γ. Углы вводятся в градусах или радианах; для расчётов градусы переводятся в радианы умножением на π/180, а результат при необходимости переводится обратно умножением на 180/π. По заданному набору калькулятор выбирает один из случаев решения, после чего находит периметр и площадь.

Если заданы два угла, третий находится из того, что сумма углов треугольника равна развёрнутому углу:

α + β + γ = π

где:

• α, β, γ — углы треугольника, рад;
• π — половина полного оборота (180°).

Три стороны (SSS)

Когда заданы все три стороны, углы находятся по теореме косинусов:

α = arccos((b² + c² − a²) / (2bc))    β = arccos((a² + c² − b²) / (2ac))

где:

• a, b, c — стороны треугольника, ед.;
• α, β — углы, противолежащие сторонам a и b, рад.

Третий угол получается из суммы углов: γ = π − α − β.

Две стороны и угол (SAS / SSA)

Если задан угол между двумя известными сторонами (например, угол γ между сторонами a и b), противолежащая ему сторона находится по теореме косинусов:

c = √(a² + b² − 2ab·cos γ)

где:

• c — сторона, противолежащая заданному углу, ед.;
• γ — угол между сторонами a и b, рад.

Оставшиеся углы после этого досчитываются той же теоремой косинусов, как в случае трёх сторон.

Если же заданный угол лежит напротив одной из известных сторон, недостающий угол находится по теореме синусов:

sin β = b · sin α / a    β = arcsin(sin β)

где:

• α — заданный угол напротив стороны a, рад;
• β — искомый угол напротив стороны b, рад.

Третий угол берётся как γ = π − α − β, а оставшаяся сторона — снова по теореме синусов (см. ниже).

Одна сторона и два угла (ASA / AAS)

Когда заданы одна сторона и два угла, все стороны находятся по теореме синусов через общий коэффициент пропорциональности:

a / sin α = b / sin β = c / sin γ

Отсюда, зная одну сторону (например, a) и все углы:

b = a · sin β / sin α    c = a · sin γ / sin α

где:

• a — заданная сторона, ед.;
• b, c — искомые стороны, ед.;
• α, β, γ — углы, противолежащие сторонам a, b, c, рад.

Периметр и площадь

После того как известны все три стороны, считается периметр:

P = a + b + c

где:

• P — периметр треугольника, ед.

Площадь вычисляется по формуле Герона через полупериметр:

p = P / 2    S = √(p · (p − a) · (p − b) · (p − c))

где:

• p — полупериметр, ед.;
• S — площадь треугольника, ед².

Примеры расчётов