Калькулятор треугольника

Логика вычислений

Калькулятор полностью решает прямоугольный треугольник по любым двум известным величинам. Сначала по введённой паре значений восстанавливаются все три стороны — два катета a, b и гипотенуза c. Здесь α — угол, лежащий напротив катета a, β — угол напротив катета b (прямой угол лежит напротив гипотенузы). Углы можно вводить в градусах или радианах; для расчёта они переводятся в радианы:

α_рад = α° × π / 180

где:

• α°, α_рад — значение угла в градусах и в радианах (так же переводится угол β).

Восстановление сторон по двум исходным данным

В зависимости от того, какая пара величин задана, стороны находятся по теореме Пифагора или через тригонометрические функции острого угла.

Если заданы два катета — гипотенуза по теореме Пифагора. Если задан катет и гипотенуза — второй катет из того же соотношения:

c = √(a² + b²)    b = √(c² − a²)    a = √(c² − b²)

где:

• a, b — катеты треугольника;
• c — гипотенуза (всегда длиннее любого из катетов).

Если задан катет a и один из острых углов, остальные стороны выражаются через синус, косинус и тангенс. Для угла α (он лежит напротив a) и для угла β (он прилежит к a):

c = a / sin α    b = a / tan α    b = a × tan β    c = a / cos β

где:

• α — острый угол напротив катета a;
• β — острый угол напротив катета b (прилежащий к катету a).

Симметрично, если задан катет b и один из острых углов — для угла β (напротив b) и для угла α (прилежит к b):

c = b / sin β    a = b / tan β    a = b × tan α    c = b / cos α

Если задана гипотенуза c и один из острых углов, оба катета получаются как её проекции:

a = c × sin α    b = c × cos α    b = c × sin β    a = c × cos β

Углы и производные величины

После того как все три стороны известны, оба острых угла однозначно определяются через синус отношения катета к гипотенузе:

α = arcsin(a / c)    β = arcsin(b / c)

где:

• α, β — острые углы напротив катетов a и b (в сумме дают 90°).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, а периметр — сумме всех сторон:

S = a × b / 2    P = a + b + c

где:

• S — площадь треугольника, кв. ед.;
• P — периметр треугольника, ед.

Высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, выражается через катеты и гипотенузу:

h = a × b / c

где:

• h — высота к гипотенузе, ед.

Радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольника находится по катетам и гипотенузе, а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы (гипотенуза служит диаметром):

r = (a + b − c) / 2    R = c / 2

где:

• r — радиус вписанной окружности, ед.;
• R — радиус описанной окружности, ед.

Тип треугольника определяется сравнением катетов: при равных катетах он равнобедренный (углы 45°-45°-90°), иначе — разносторонний.

Примеры расчётов