Калькулятор теоремы косинусов
Находит неизвестную сторону или угол треугольника по теореме косинусов. Чтобы найти сторону, укажите две другие стороны и угол между ними. Чтобы найти угол, укажите все три стороны.
Логика вычислений
Калькулятор работает с произвольным треугольником по теореме косинусов и действует в двух режимах. В режиме «найти сторону» известны две стороны и угол между ними — вычисляется третья сторона. В режиме «найти угол» известны все три стороны — вычисляется любой из углов. Углы можно вводить и получать как в градусах, так и в радианах: при расчёте градусы переводятся в радианы умножением на π/180, обратный перевод результата — умножением на 180/π.
Поиск стороны
Если заданы две стороны и угол между ними (то есть угол, лежащий напротив искомой стороны), третья сторона находится так:
a² = b² + c² − 2·b·c·cos(α) ⟹ a = √(b² + c² − 2·b·c·cos(α))
где:
- a — искомая сторона (та же логика для b и c, см. ниже);
- b, c — две известные стороны, прилежащие к заданному углу;
- α — угол между сторонами b и c, лежащий напротив искомой стороны a, рад (градусы переводятся в радианы умножением на π/180).
Для других искомых сторон формула строится по тому же принципу — складываются квадраты двух известных сторон и вычитается удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
b² = a² + c² − 2·a·c·cos(β) c² = a² + b² − 2·a·b·cos(γ)
где:
- β — угол между сторонами a и c, лежащий напротив стороны b, рад;
- γ — угол между сторонами a и b, лежащий напротив стороны c, рад.
Поиск угла
Если известны все три стороны, любой угол находится через обратную формулу — сначала вычисляется косинус угла, затем сам угол через арккосинус:
cos(α) = (b² + c² − a²) / (2·b·c) α = arccos((b² + c² − a²) / (2·b·c))
где:
- α — искомый угол, лежащий напротив стороны a, рад (при выводе может переводиться в градусы умножением на 180/π);
- a — сторона, лежащая напротив искомого угла;
- b, c — две другие стороны треугольника.
Остальные углы находятся аналогично — в числителе из суммы квадратов двух сторон, прилежащих к углу, вычитается квадрат стороны напротив угла, в знаменателе стоит удвоенное произведение прилежащих сторон:
β = arccos((a² + c² − b²) / (2·a·c)) γ = arccos((a² + b² − c²) / (2·a·b))
где:
- β — угол напротив стороны b, рад;
- γ — угол напротив стороны c, рад.
Примеры расчётов
| Режим | Сторона a | Сторона b | Сторона c | Угол | Что ищем | Результат | Комментарий |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Поиск стороны | — | 5 | 7 | α = 60° | сторона a | a ≈ 6.245 | a = √(25 + 49 − 2·5·7·cos60°) = √(74 − 35) = √39 |
| Поиск стороны | — | 8 | 6 | α = 90° | сторона a | a = 10 | cos90° = 0, формула вырождается в теорему Пифагора: √(64 + 36) |
| Поиск стороны | 4 | 4 | — | γ = 120° | сторона c | c ≈ 6.928 | c = √(16 + 16 − 2·4·4·cos120°) = √(32 + 16) = √48 (тупой угол → c больше сторон) |
| Поиск угла | 7 | 5 | 8 | — | угол α | α = 60° | cosα = (25 + 64 − 49) / (2·5·8) = 40 / 80 = 0.5 |
| Поиск угла | 3 | 4 | 5 | — | угол γ | γ = 90° | cosγ = (9 + 16 − 25) / (2·3·4) = 0 / 24 = 0 → прямоугольный треугольник |
| Поиск угла | 3 | 4 | 5 | — | угол α | α ≈ 36.87° | cosα = (16 + 25 − 9) / (2·4·5) = 32 / 40 = 0.8 |
| Поиск угла | 6 | 6 | 6 | — | угол α | α = 60° | cosα = 36 / 72 = 0.5 — равносторонний треугольник, все углы по 60° |