Калькулятор уравнения прямой

Логика вычислений

Калькулятор находит уравнение прямой и выдаёт его сразу в трёх формах: общей (Ax + By = C), с угловым коэффициентом (y = mx + b) и точка-наклон (y − y₁ = m(x − x₁)). Какими бы данными ни задавалась прямая, расчёт всегда сводится к одной паре величин — угловому коэффициенту m и одной точке (x₁, y₁), лежащей на прямой. Способ их получения зависит от выбранного режима ввода.

Режим «По двум точкам»

Угловой коэффициент равен отношению приращения по оси Y к приращению по оси X между двумя заданными точками:

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

где:

• m — угловой коэффициент прямой;
• x₁, y₁ — координаты первой точки;
• x₂, y₂ — координаты второй точки.

За опорную точку берётся первая точка (x₁, y₁). Если у обеих точек совпадает абсцисса (x₁ = x₂), прямая вертикальна, угловой коэффициент не существует, и уравнение записывается в виде x = x₁.

Режим «Точка и наклон»

Угловой коэффициент m и опорная точка (x₁, y₁) задаются напрямую, поэтому промежуточный расчёт не нужен:

m = m    (x₁, y₁) — заданная точка

где:

• m — введённый угловой коэффициент;
• x₁, y₁ — координаты заданной точки.

Режим «Наклон и точка пересечения с Y»

Известны угловой коэффициент m и ордината точки пересечения с осью Y. Эта точка имеет абсциссу 0, поэтому за опорную берётся точка (0, b):

x₁ = 0    y₁ = b

где:

• b — ордината точки пересечения прямой с осью Y.

Построение трёх форм уравнения

Имея угловой коэффициент m и опорную точку (x₁, y₁), калькулятор сначала находит точку пересечения прямой с осью Y:

b = y₁ − m × x₁

где:

• b — ордината точки пересечения с осью Y.

Через найденные m и b записывается форма с угловым коэффициентом, а через опорную точку — форма точка-наклон:

y = mx + b    y − y₁ = m(x − x₁)

Общая форма Ax + By = C получается приведением уравнения y = mx + b к целым коэффициентам. Угловой коэффициент представляется дробью с целым знаменателем d (подбирается наименьший знаменатель, при котором m × d — целое), после чего коэффициенты домножаются на d:

A = −m × d    B = d    C = b × d

где:

• A, B, C — коэффициенты общей формы уравнения;
• d — наименьший целый знаменатель углового коэффициента m.

Полученные A, B, C сокращаются на их наибольший общий делитель, а знаки приводятся к виду, в котором первый ненулевой коэффициент положителен:

A : B : C = A/НОД(A, B) : B/НОД(A, B) : C/НОД(A, B)

где:

• НОД(A, B) — наибольший общий делитель коэффициентов A и B.

Примеры расчётов