Калькулятор распределения Пуассона

Логика вычислений

Калькулятор работает с распределением Пуассона — моделью числа независимых событий, происходящих за фиксированный интервал при известной средней интенсивности λ. По введённым значениям числа наступлений x и средней интенсивности λ он находит вероятность ровно x событий, а также все накопленные вероятности: меньше, не больше, больше и не меньше x. В основе всех расчётов лежит вероятность ровно k событий:

P(X = k) = λ^k × e^−λ / k!

где:

• P(X = k) — вероятность того, что произойдёт ровно k событий;
• λ — средняя интенсивность (среднее число событий за интервал);
• k — число наступлений события, целое неотрицательное (шт);
• e — основание натурального логарифма (≈ 2,71828);
• k! — факториал k (произведение всех целых чисел от 1 до k).

Чтобы расчёт оставался устойчивым при больших k (факториал быстро переполняется), формула вычисляется через натуральные логарифмы: показатель степени складывается из логарифмов, а результат возводится обратно в степень e:

P(X = k) = exp( k × ln λ − λ − ln k! )    ln k! = Σ ln i, i = 2…k

где:

• ln — натуральный логарифм;
• ln k! — логарифм факториала, считается как сумма логарифмов целых чисел от 2 до k.

Искомая вероятность ровно x событий — это та же формула при k = x:

P(X = x) = λ^x × e^−λ / x!

Вероятность того, что событий произойдёт меньше x, — это сумма вероятностей по всем значениям от 0 до x−1:

P(X < x) = Σ P(X = k), k = 0…x−1

Остальные накопленные вероятности получаются из P(X < x) и P(X = x) без новых суммирований. Вероятность «не больше x» добавляет к меньшему значению вероятность ровно x; «больше x» и «не меньше x» — это дополнения до полной вероятности, равной единице:

P(X ≤ x) = P(X < x) + P(X = x)

P(X > x) = 1 − P(X ≤ x)    P(X ≥ x) = 1 − P(X < x)

где:

• P(X < x) — вероятность, что произойдёт меньше x событий;
• P(X ≤ x) — вероятность не больше x событий;
• P(X > x) — вероятность больше x событий;
• P(X ≥ x) — вероятность не меньше x событий.

Все четыре накопленные вероятности и вероятность ровно x событий в сумме описывают полную картину: P(X ≤ x) + P(X > x) = 1, а P(X < x) + P(X = x) + P(X > x) = 1.

Примеры расчётов