Калькулятор нормального распределения

Логика вычислений

Калькулятор по заданным параметрам нормального распределения — математическому ожиданию и стандартному отклонению — находит для указанного значения его z-оценку, а затем вероятность того, что случайная величина окажется ниже и выше этого значения. Расчёт идёт в три этапа: нормировка значения в z-оценку, вычисление функции распределения и переход к двум вероятностям.

Сначала значение приводится к стандартной шкале — насколько оно отклоняется от среднего, измеренное в стандартных отклонениях:

z = (x − μ) / σ

где:

• z — z-оценка (число стандартных отклонений от среднего), безразмерная;
• x — исследуемое значение, в единицах исходной величины;
• μ — математическое ожидание (среднее), в тех же единицах, что и x;
• σ — стандартное отклонение, в тех же единицах, что и x.

Затем по z-оценке вычисляется функция распределения стандартного нормального закона Φ(z) — это и есть вероятность получить значение ниже x. Φ выражается через функцию ошибки erf:

P(X < x) = Φ(z) = ½ × (1 + erf(z / √2))

где:

• P(X < x) — вероятность того, что случайная величина окажется ниже x, от 0 до 1;
• Φ(z) — функция распределения стандартного нормального закона;
• erf — функция ошибки;
• √2 — корень из двух (≈ 1,41421), связывает стандартное нормальное распределение с функцией ошибки.

Сама функция ошибки erf не имеет точного выражения через элементарные функции, поэтому она вычисляется приближённо по формуле Абрамовица–Стигана (точность около 1·10⁻⁷). Для неотрицательного аргумента:

t = 1 / (1 + p × |z′|)    erf(z′) = 1 − (a₁t + a₂t² + a₃t³ + a₄t⁴ + a₅t⁵) × e^(−z′²)

где:

• z′ — аргумент функции ошибки, равный z / √2;
• t — вспомогательная величина приближения, безразмерная;
• p, a₁…a₅ — табличные коэффициенты приближения (см. таблицу ниже);
• e^(−z′²) — экспонента от минус квадрата аргумента.

Для отрицательного аргумента используется нечётность функции: erf(−z′) = −erf(z′).

Вероятность получить значение выше x — это дополнение до единицы, так как полная площадь под кривой распределения равна 1:

P(X > x) = 1 − P(X < x)

где:

• P(X > x) — вероятность того, что случайная величина окажется выше x, от 0 до 1.

Обе вероятности дополнительно выражаются в процентах умножением на 100.

Коэффициенты приближения функции ошибки