Статистический калькулятор

Логика вычислений

Калькулятор принимает набор чисел и считает по нему набор описательных статистик. Числа сортируются по возрастанию, после чего вычисляются базовые показатели — минимум, максимум, сумма, среднее — и производные от них меры разброса и положения. Дисперсия и стандартное отклонение считаются двумя способами в зависимости от того, чем является набор: генеральной совокупностью или выборкой.

Минимум и максимум — это первый и последний элементы отсортированного набора. Размах и середина размаха получаются из них напрямую:

R = x_max − x_min    M_сер = (x_min + x_max) / 2

где:

• x_min, x_max — наименьшее и наибольшее значения набора;
• R — размах (разница между максимумом и минимумом);
• M_сер — середина размаха.

Сумма всех значений и среднее арифметическое:

S = Σxᵢ    x̄ = S / n

где:

• S — сумма всех значений;
• xᵢ — отдельное значение набора;
• n — количество значений;
• x̄ — среднее арифметическое.

Медиана — это центральное значение отсортированного набора. При нечётном n берётся средний элемент, при чётном — полусумма двух центральных:

Me = x₍ₙ₊₁₎⁄₂   или   Me = (x_(n/2) + x_(n/2+1)) / 2

где:

• Me — медиана (первый вариант для нечётного n, второй — для чётного).

Мода — это значение (или значения), встречающееся в наборе чаще всего. Если каждое число встречается только один раз, моды нет.

Разброс: сумма квадратов, дисперсия, стандартное отклонение

Сначала считается сумма квадратов отклонений каждого значения от среднего:

SS = Σ(xᵢ − x̄)²

где:

• SS — сумма квадратов отклонений от среднего.

Дисперсия — это средний квадрат отклонения. Делитель зависит от типа набора: для генеральной совокупности это n, для выборки — n−1 (поправка Бесселя):

σ² = SS / n   (генеральная совокупность)    s² = SS / (n − 1)   (выборка)

где:

• σ² — дисперсия генеральной совокупности;
• s² — дисперсия выборки.

Стандартное отклонение — это корень из дисперсии:

σ = √σ²    s = √s²

где:

• σ, s — стандартное отклонение для генеральной совокупности и для выборки.

Среднее абсолютное отклонение усредняет модули отклонений от среднего (без возведения в квадрат):

MAD = (Σ|xᵢ − x̄|) / n

где:

• MAD — среднее абсолютное отклонение.

Коэффициент вариации и относительное стандартное отклонение показывают разброс относительно среднего:

CV = σ / x̄    RSD = (σ / |x̄|) × 100 %

где:

• CV — коэффициент вариации (доля);
• RSD — относительное стандартное отклонение, %.

Квартили и межквартильный размах

Квартили делят упорядоченный набор на четыре равные части. Они находятся методом линейной интерполяции: для уровня q вычисляется дробная позиция в отсортированном наборе, и если она попадает между двумя элементами, значение берётся пропорционально между ними:

pos = (n − 1) × q    Q = x_⌊pos⌋ + (pos − ⌊pos⌋) × (x_⌊pos⌋₊₁ − x_⌊pos⌋)

где:

• q — уровень квартиля: 0,25 для Q1, 0,5 для Q2, 0,75 для Q3;
• pos — дробная позиция в отсортированном наборе;
• ⌊pos⌋ — целая часть позиции (номер нижнего из двух соседних элементов);
• Q — значение квартиля.

Второй квартиль Q2 совпадает с медианой. Межквартильный размах — это разница между третьим и первым квартилями:

IQR = Q3 − Q1

где:

• Q1, Q3 — первый и третий квартили;
• IQR — межквартильный размах.

Примеры расчётов