Калькулятор экспоненциальных чисел

Логика вычислений

Калькулятор возводит число в степень — то есть вычисляет значение выражения, в котором основание умножается само на себя нужное количество раз. Принимаются целые, дробные и отрицательные показатели. Базовая формула одна:

y = a^x

где:

• a — основание степени (число, которое возводят);
• x — показатель степени;
• y — результат возведения в степень.

Дальше способ раскрытия степени зависит от того, какие именно значения a и x заданы. Калькулятор разбирает несколько отдельных случаев.

Особые значения показателя и основания

Любое число в нулевой степени равно единице, а в первой — самому себе:

a⁰ = 1    a¹ = a

Ноль в любой положительной степени равен нулю, а единица в любой степени равна единице:

0^x = 0    1^x = 1

Целая положительная степень

Если показатель — целое положительное число, возведение в степень раскрывается как произведение основания само на себя x раз:

a^x = a × a × … × a  (множителей x штук)

где:

• x — целое положительное число, количество множителей.

Целая отрицательная степень

Отрицательная степень — это единица, делённая на основание, возведённое в ту же степень по модулю:

a^−x = 1 / a^x

Знаменатель, в свою очередь, раскрывается как произведение:

a^−x = 1 / (a × a × … × a)  (множителей x штук)

где:

• −x — целое отрицательное значение показателя;
• x — его модуль, число повторений основания в знаменателе.

Дробный показатель

Для дробного показателя степень трактуется через корень. Если показатель представить дробью p/q, то:

a^p/q = ^q√(a^p)

где:

• p — числитель дроби показателя;
• q — знаменатель дроби показателя, корень которой берётся.

На практике значение вычисляется через универсальное соотношение со степенным разложением экспоненты и натурального логарифма:

a^x = e^{x · ln a}

где:

• ln a — натуральный логарифм основания;
• e — основание натурального логарифма, e ≈ 2,71828.

Эта же формула используется при больших значениях показателя, когда последовательное умножение становится непрактичным.

Случаи, когда результат не определён

В действительных числах выражение a^x не имеет значения, если:

• основание отрицательное, а показатель — дробный (например, (−2)^0,5 = √(−2));
• основание равно нулю, а показатель отрицательный (деление на ноль: 0^−x = 1/0).

В таких ситуациях калькулятор выводит сообщение о том, что выражение не определено.